Новости

Логарифмическая полезность

В этом разделе представлена функция, которая хорошо подходит для финансового анализа, основанного на максимизирующем полезность агенте, — натуральный логарифм u(x) = ln x. Она удовлетворяет трем условиям, приведенным в предыдущем подразделе, и регулярно используется в финансах для моделирования пользы, которую агент получает от денег (или потребления). При условии, что x ∈ R_>0, получается следующее.

Python позволяет графически изобразить три рассмотренные нами функции посредством библиотеки NumPy в сочетании с векторными вычислениями. На рис. 4.2 показан график, сгенерированный следующим кодом:

In [15]: x = np.linspace(0.5, 10, 50) ➊

In [16]: x[:5] ➋
Out[16]: array([0.5 , 0.69388, 0.88776, 1.08163, 1.27551])

In [17]: u = np.log(x) ➌

In [18]: u1 = 1 / x ➍

In [19]: u2 = -1 / x ** 2 ➎

In [20]: plt.figure(figsize=(10, 6)) ➏
             plt.plot(x, u, label='$u$') ➐
             plt.plot(x, u1, '--', label='$du/dx$') ➑
             plt.plot(x, u2, '-.', label='$d^2u/dx^2$') ➑
             plt.legend(loc=0); ➓

❶ Создание объекта ndarray с числами с плавающей запятой от 0,5 до 10 и равномерным интервалом для получения 50 значений.

❷ Вывод выборки из полученных чисел.

❸ Вычисление значений для функции полезности.

❹ И для ее первой производной, а также…

❺ …Для второй производной.

❻ Создание нового холста для построения графика и задание параметров размера.

❼ Нанесение на график функции полезности.

❽ Нанесение на график первой производной.

❾ Нанесение на график второй производной.

❿ Размещение условных обозначений в оптимальном месте (loc=0).

Аддитивная полезность относительно времени

С учетом натурального логарифма, использованного в качестве функции для моделирования полезности денег для агента, предпочтения агента относительно планов экономии c = (c₀, c₁) могут быть описаны как аддитивная функция полезности относительно времени следующего вида:

Предполагается, что κ ∈ R_≥0 принимает значения 0 < κ ≤ 1 и представляет собой временные предпочтения агента. Суть данной функции в том, что деньги и потребление сегодня ценятся выше, чем через год: например, 100 долларов сейчас предпочтительнее 100 долларов через год независимо от того, какая точная функция описывает полезность (при условии постоянства предпочтений с течением времени). Ее также можно рассматривать как неденежный коэффициент дисконтирования. Вдобавок на основе частных производных по отношению к c₀ и c₁ легко убедиться, что эта функция удовлетворяет трем условиям, описанным ранее: она является дважды дифференцируемой, вогнутой и возрастающей.

При наличии у агента первоначального капитала w задача на условный экстремум имеет следующий вид:

таким образом:

или:

Необходимыми условиями оптимальности первого порядка в таком случае являются:

результатом которых становится:

Оптимальный план экономии теперь отражает временные предпочтения в том, что потребление через год c₁ — это κ · c₀. Также верны равенства:

и

Обязательным условием является бюджетное ограничение:

Следующий код решает задачу на оптимизацию в числовом виде при w = 10. Полученный оптимальный план отражает временные предпочтения агента:

In [21]: import math

In [22]: from scipy.optimize import minimize

In [23]: kappa = 10 / 11

In [24]: def U(c):
             return -(math.log(c[0]) +  kappa * math.log(c[1])) ❶

In [25]: w = 10

In [26]: cons = ({'type': 'eq', 'fun': lambda c: c[0] + c[1] - w})❷

In [27]: opt = minimize(U, (1, 1), constraints=cons)

In [28]: opt
Out[28]:      fun: -3.0747286083026886
              jac: array([-0.19091, -0.19091])
          message: 'Optimization terminated successfully'
             nfev: 18
              nit: 6
             njev: 6
           status: 0
          success: True
                x: array([5.23811, 4.76189])

In [29]: opt['x'] ❸
Out[29]: array([5.23811, 4.76189])

In [30]: -opt['fun'] ❹
Out[30]: 3.0747286083026886

❶ Функция полезности со знаком минус для достижения максимизации через минимизацию.

❷ Бюджетное ограничение в виде ограничения типа равенства для выполнения функции minimize.

❸ Оптимальный план экономии, отражающий временные предпочтения, при котором c0 больше c1 ровно на 10 %.

❹ Максимальная полезность, получаемая по оптимальному плану.

Ожидаемая полезность

Перейдем к статической экономике с двумя состояниями и неопределенностью. Предположим, что у агента есть некоторый первоначальный капитал w ∈ R_>0, пользу от которого он получит только за счет денег, доступных через год. Полезность этих денег разнится в зависимости от того, какое из двух возможных состояний материализуется. Данная ситуация представляет собой задачу на чистую инвестицию, где весь имеющийся первоначальный капитал должен быть вложен в оптимальные торгуемые финансовые активы.

Допустим, что торгуются два финансовых актива: безрисковая облигация с процессом ценообразования:

и рисковая акция с процессом ценообразования:

Финансовые активы являются средством переноса первоначального капитала с сегодняшнего дня на более поздний момент времени. Основная проблема агента при принятии решения заключается в том, чтобы определиться, какая часть денежных средств должна быть расходована в любом из будущих состояний.

Модель инвестиционной задачи, с которой сталкивается агент в условиях неопределенности, задается ожидаемой полезностью для агента, которая должна быть максимизирована с учетом значения w. Функция ожидаемой полезности имеет вид:

С вектором цен агент может распределить свой первоначальный капитал, исходя из следующего условия:

где вторая часть — составленный агентом портфель, содержащий безрисковую облигацию и рисковую акцию. Данное бюджетное ограничение всегда будет обязательным условием из-за бесконечности спроса агента. Помимо этого, запрещены продажи без покрытия («короткие» продажи).

Матрица рыночных выплат представлена как:

Сколько денег будет у агента в любом из состояний через год? Сумма определяется составленным им портфелем:

который можно преобразовать в:

или

Полная задача принятия агентом решений касательно выбора оптимального портфеля может быть представлена в виде задачи условного экстремума:

которую можно упростить до:

Согласно теореме Лагранжа эту задачу можно преобразовать в задачу безусловного экстремума:

где агент выбирает b и s для максимизации ожидаемой полезности с учетом бюджетного ограничения.

Теория ожидаемой полезности

Спустя десятилетия после разработки и внедрения теория ожидаемой полезности (Expected Utility Theory, EUT) все еще остается доминирующей парадигмой принятия финансовых решений, несмотря на то что одно из ее основных допущений — агенты имеют полное представление о возможных будущих состояниях и вероятности их реализации — практически никогда не выполняется в реальности. Тем не менее для многих EUT является интеллектуально привлекательной теоремой с приятными результатами, которые часто легко понять и интерпретировать. Подробнее о проблемах данной парадигмы в финансах можно узнать у Хилпиша (2020, главы 3 и 4).

Более подробно с книгой можно ознакомиться на сайте издательства.