Новости

Аналитическая геометрия

В главе 2 мы изучали векторы, векторные пространства и линейные отображения в общем, но абстрактном виде. В данной главе добавим к этим понятиям геометрическую интерпретацию и интуицию. В частности, рассмотрим геометрические векторы, научимся вычислять их длины, расстояния и углы между двумя векторами. Чтобы можно было это делать, определим на векторном пространстве внутреннее произведение, которое придает ему геометрические свойства. Внутренние произведения и соответствующие им нормы и метрики заключают в себе интуитивные представления о подобии и расстояниях, которыми мы воспользуемся в главе 12 при разработке машины опорных векторов. Затем нам понадобятся понятия длины вектора и угла между векторами, чтобы разобраться с ортогональными проекциями, которые будут в центре обсуждения анализа главных компонент в главе 10, а также регрессии и оценки максимального правдоподобия в главе 9. На рис. 3.1 показано, как связаны концепции из этой главы друг с другом и с материалом из других глав книги.

3.1. Нормы

Рассуждая о геометрических векторах, то есть о направленных отрезках, начинающихся в начале координат, мы интуитивно понимаем, что длина вектора — это расстояние от начала координат до «конца» этого отрезка. Далее мы будем обсуждать феномен длины вектора, пользуясь понятием нормы.

Определение 3.1 (норма). Норма векторного пространства V — это функция

где каждому вектору x присваивается значение длины || x || ∈ R, такое что для всех λ ∈ R и x, y ∈ V соблюдается следующее:

• Абсолютная однородность: || λx || = |λ| || x ||.
• Неравенство треугольника: || x + y|| ≤ || x || + || y ||.
• Положительная определенность: || x || ≥ 0 и || x || = 0 x = 0.

В геометрических терминах неравенство треугольника постулирует, что для любого треугольника сумма длин любых двух его сторон должна быть более или равна длине третьей стороны; см. рис. 3.2 в качестве иллюстрации. Определение 3.1 дано в терминах общего векторного пространства V (раздел 2.4), но в этой книге рассматривается только конечномерное векторное пространство Rⁿ. Помните, что для вектора x ∈ Rⁿ элементы вектора обозначаются с использованием нижнего индекса, то есть xi — это i-й элемент вектора x.

Примечание
По умолчанию в этой книге используется евклидова норма (3.4), если не указано иное.

3.2. Внутренние произведения

При помощи внутренних произведений (внутренним называется произведение одного вектора на другой) удобно ввести интуитивно понятные геометрические концепции, в частности длину вектора и угол или расстояние между двумя векторами. Главное назначение внутренних произведений — определять, ортогональны ли векторы друг другу.

3.2.1. Скалярное произведение

Возможно, вам уже известно об особом типе внутреннего произведения, скалярном произведении Rⁿ, которое записывается как

Такой частный случай внутреннего произведения мы будем называть в этой книге скалярным. Но концепция внутренних произведений более общая, и внутренние произведения обладают специфическими свойствами, о которых мы сейчас расскажем.

3.2.2. Общие внутренние произведения

Вспомните линейное отображение из раздела 2.7, где было показано, как можно переупорядочить отображение при сложении и умножении на скаляр. Билинейное отображение Ω — это отображение с двумя аргументами, и в каждом аргументе оно линейно, то есть при рассмотрении векторного пространства V для всех x, y, z ∈ V, λ, ψ ∈ R верно, что

Здесь в (3.6) утверждается, что Ω линейно в первом аргументе, а в (3.7) утверждается, что Ω линейно во втором аргументе (см. также (2.87)).

Определение 3.2. Пусть V — векторное пространство, а Ω: V × V → R билинейное отображение, которое принимает два вектора и отображает их на вещественное число. Тогда

• Ω называется симметричным, если Ω(x, y) = Ω(y, x) для всех x, y ∈ V, то есть порядок следования аргументов не важен.
• Ω называется положительно определенным, если

Определение 3.3. Пусть V — векторное пространство, а Ω: V × V → R билинейное отображение, которое принимает два вектора и отображает их на вещественное число. Тогда:

• Положительно определенное, симметричное билинейное отображение Ω: V × V → R называется внутренним произведением V. Как правило, пишут <x, y>, а не Ω(x, y).
• Пара (V, <·, ·>) называется предгильбертовым пространством или (вещественным) векторным пространством с внутренним произведением. Если воспользоваться скалярным произведением, определенным в (3.5), то (V, <, ·>) называется евклидовым векторным пространством.

Такие пространства в этой книге будут называться предгильбертовыми пространствами.

3.2.3. Симметричные положительно определенные матрицы

Симметричные положительно определенные матрицы играют важную роль в машинном обучении. Они определяются при помощи внутреннего произведения. В разделе 4.3 мы вернемся к симметричным положительно определенным матрицам в контексте разложения матриц. Идея симметричных положительно полуопределенных матриц играет ключевую роль при определении ядер (раздел 12.4).

Рассмотрим n-мерное векторное пространство V с внутренним произведением <·, ·>: V × V → R (см. определение 3.3) и упорядоченным базисом B = (b1, ..., bn) от V. Как вы помните из раздела 2.6.1, любые векторы x, y ∈ V можно записать как линейную комбинацию базисных векторов, такую что

для подходящих ψ_iλ_j ∈ R. Поскольку внутреннее произведение билинейно, для всех x, y ∈ V верно, что

Поскольку внутреннее произведение билинейно, для всех x, y ∈ V верно, что

где

— это координаты x и y относительно базиса B. Это подразумевает, что внутреннее произведение <·, ·> уникально определяется через A.

Симметрия внутреннего произведения также означает, что A симметрично. Кроме того, положительная определенность внутреннего произведения подразумевает, что

Определение 3.4 (симметричная, положительно определенная матрица). Симметричная матрица A ∈ R^{n × n}, удовлетворяющая (3.11), называется симметричной, положительно определенной или просто положительно определенной. Если для (3.11) верно только ≥, то A называется симметричной, положительно полуопределенной.

Если A ∈ R^{n × n} симметрична, положительно определенна, то

определяет внутреннее произведение относительно упорядоченного базиса B, где и — координатные представления x, y ∈ V относительно B.

Теорема 3.5. Для вещественнозначного, конечномерного векторного пространства V и упорядоченного базиса B от V верно, что <·, ·>: V × V → R является внутренним произведением тогда и только тогда, если существует симметричная, положительно определенная матрица A ∈ R^{n × n} с

Следующие свойства соблюдаются, если A ∈ R^{n × n} является симметричной и положительно определенной:

• Нулевое пространство (ядро) A состоит лишь из 0, поскольку x^T Ax > 0 для всех x ≠ 0. Это подразумевает, что Ax ≠ 0 и x ≠ 0.
• Диагональные элементы a_ii от A положительны, поскольку a_ii = e_i^T Ae_i > 0, где e_i это i-й вектор стандартного базиса в Rⁿ.

3.3. Длины и расстояния

В разделе 3.1 мы уже обсуждали нормы, которыми можно пользоваться для вычисления длины вектора. Внутренние произведения и нормы тесно связаны в том смысле, что любое внутреннее произведение вводит норму

естественным образом, так что длины векторов можно вычислять при помощи внутреннего произведения. Но не всякая норма вводится внутренним произведением. Манхэттенская норма (3.3) — такая, у которой нет соответствующего внутреннего произведения. В дальнейшем мы сосредоточимся на нормах, вводимых внутренними произведениями, и познакомимся с геометрическими концепциями, в частности с длинами, расстояниями и углами.

Примечание
Для векторного пространства внутреннего произведения (V,<·, ·>) индуцированная норма || · || удовлетворяет неравенству Коши — Шварца

Определение 3.6 (расстояние и метрика). Рассмотрим пространство внутреннего произведения (V,<·, ·>). Тогда

называется расстоянием между x и y для x, y ∈ V. Если использовать скалярное произведение как внутреннее, то это расстояние называется евклидовым расстоянием. Отображение

называется метрикой.

Примечание
Подобно длине вектора, расстояние между векторами не требует внутреннего произведения; достаточно нормы. Если у вас есть норма, индуцированная внутренним произведением, то расстояние может отличаться в зависимости от выбранного внутреннего произведения.

Метрика d удовлетворяет следующим условиям:
1. d является положительно определенной, то есть d(x, y) ≥ 0 для всех x, y ∈ V и d(x, y) = 0 x = y.
2. d симметрично, то есть d(x, y) = d(y, x) для всех x, y ∈ V.
3. Неравенство треугольников: d(x, z) ≤ d(x, y) для всех x, y, z ∈ V.

Примечание
На первый взгляд, списки свойств внутренних произведений и метрик выглядят очень похоже. Однако если сравнить определение 3.3 с определением 3.6, то можно заменить, что <x, y> и d(x, y) действуют в противоположных направлениях. Очень схожие x и y будут давать большое значение для внутреннего произведения и малое значение для метрики.

3.4. Углы и ортогональность

Внутренние произведения позволяют не только определять длины векторов и расстояние между двумя векторами, но и схватывают геометрию векторного пространства, определяя угол ω между двумя векторами. Мы воспользуемся неравенством Коши — Шварца (3.17) для определения углов ω в пространствах внутренних произведений между двумя векторами x, y, и это определение совпадает с интуитивным пониманием R² и R³. Предположим, что x ≠ 0, y ≠ 0. Тогда

Следовательно, существует уникальный ω ∈ [0, π], показанный на рис. 3.4, с

Число ω — это угол между векторами x и y. Интуитивно понятно, что угол между двумя векторами позволяет судить, насколько схоже они ориентированы. Например, воспользовавшись скалярным произведением, найдем, что угол между x и y = 4x (то есть y — это x с некоторым множителем) равен 0.

Определение 3.7 (ортогональность). Два вектора x и y ортогональны тогда и только тогда, когда <x, y> = 0, и мы пишем x _|_ y. Если к тому же || x || = 1 = || y ||, то есть векторы являются единичными, то x и y ортонормированны.

Из этого определения следует, что 0-вектор ортогонален любому вектору в векторном пространстве.

Примечание
Ортогональность — это обобщение концепции перпендикулярности, применимой к билинейным формам, которые не обязательно дают скалярное произведение. В нашем контексте с геометрической точки зрения можно считать, что ортогональные векторы расположены под прямым углом относительно конкретного внутреннего произведения.

Определение 3.8 (ортогональная матрица). Квадратная матрица A ∈ R^{n × n} является ортогональной матрицей тогда и только тогда, когда ее столбцы ортонормированны, так что

что подразумевает

то есть обратная матрица получается простым транспонированием матрицы.

Преобразования ортогональных матриц представляют особенный случай, поскольку длина вектора x не меняется, если преобразовывать его с применением ортогональной матрицы A. Для скалярного произведения получаем

Более того, угол между любыми двумя векторами x, y, измеренный по их внутреннему произведению, также не изменится, если преобразовать оба эти вектора с применением ортогональной матрицы A. Взяв скалярное произведение в качестве внутреннего, получим, что угол образов Ax и Ay дается как

то есть в точности равен углу между x и y. Это означает, что у ортогональных матриц A, где A^T = A^–1, сохраняются как углы, так и расстояния. Оказывается, что ортогональные матрицы определяют преобразования, являющиеся поворотами (с возможностью переворота). В разделе 3.9 мы подробнее поговорим о поворотах.

Более подробно с книгой можно ознакомиться на сайте издательства.